Question

Cho hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D . Tính chu vi của hình thang , biết BC =a

@Akai Haruma , @Nguyễn Lê Phước Thịnh , Hồng Phúc , @Nguyễn Trúc Giang

Answer 1

Ta có: AB//CD(hai đáy của hình thang cân ABCD)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{BDC}=\widehat{ADB}\)(DB là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)

Xét ΔABD có \(\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\)(cmt)

nên ΔABD cân tại A(định lí đảo của tam giác cân)

⇒AB=AD

mà AD=BC=a(hai cạnh bên của hình thang cân)

Ta có: ABCD là hình thang cân(gt)

⇒\(\widehat{C}=\widehat{ADC}\)(hai góc kề một đáy)

mà \(\widehat{ADC}=2\cdot\widehat{BDC}\)(DB là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))

nên \(\widehat{C}=2\cdot\widehat{BDC}\)

Ta có: ΔBDC vuông tại B(BD⊥BC)

nên \(\widehat{C}+\widehat{BDC}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

⇔\(2\cdot\widehat{BDC}+\widehat{BDC}=90^0\)

⇔\(3\cdot\widehat{BDC}=90^0\)

hay \(\widehat{BDC}=30^0\)

Xét ΔBDC vuông tại B có \(\widehat{BDC}=30^0\)(cmt)

mà cạnh đối diện với \(\widehat{BDC}\) là BC

nên \(BC=\frac{DC}{2}\)(Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30⁰ bằng một nửa cạnh huyền)

⇔\(DC=BC\cdot2=2a\)

Chu vi của hình thang ABCD là:

AB+BC+DC+AD=a+a+2a+a=5a