Question

Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC. Qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD lần lượt tại M và N. Vẽ hình chữ nhật MDNF. Chứng minh:

a)  DF song song với AC.

b)  E là trung điểm của BF.

Answer 1

Answer:

a) Gọi I và J là giao điểm các đường chéo của hình chữ nhật MDNF và hình chữ nhật ABCD

Tam giác IND và tam giác JCD là các tam giác cân \(\Rightarrow\widehat{N_1}=\widehat{D_1}\)  và \(\widehat{C_1}=\widehat{D_2}\)

Mặt khác \(\widehat{N_1}=\widehat{D_2}\) (Hai góc đồng vị)

Vậy \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\Rightarrow DF//AC\)

b) Tứ giác EIDJ là hình bình hành vì có các cạnh đối song song

Có: EJ = ID nhưng IF = ID \(\Rightarrow IF=EJ\)

Từ đó tứ giác EFIJ là hình bình hành \(\Rightarrow FE=IJ\left(1\right)\)

Mặt khác trong tam giác FBD: có FB // IJ (2)

Từ (1) và (2) => điểm E, điểm B, điểm F thẳng hàng

Mà EF = IJ và EB = IJ

=> E là trung điểm BF