Question

Cho hình chữ nhật ABCD. M, N, P, Q là các điểm thuộc AB, BC, CD, DA. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ. Khi đó tứ giác MNPQ là hình gì

Answer 1

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra AI=12QMAI=12QM

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên IH=12MNIH=12MN, IH // MN.

Tương tự KC=12NP,HK=12PQKC=12NP,HK=12PQ, HK // PQ.Do đó AI+IH+HK+KC=12PMNPQAI+IH+HK+KC=12PMNPQ

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: AI+IH+HK+KC≥ACAI+IH+HK+KC≥ACDo đó PMNPQ≥2ACPMNPQ≥2AC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

Điều đó tương đương với MN//AC//QP, QM//BD//NP hay MNPQ là hình bình hành.

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC.