Question

 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Gọi M và N theo thứ tư là trung điểm của các đoạn AH và DH

a) Chứng minh MN//AD

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành 

c)  Chứng minh tam giác ANI vuông tại N

Answer 1

Xét tam giác AHD có :

M là trung điểm của AH ( gt )

N là trung điểm của DH ( gt )

Do đó MN là đường trung bình của tam giác AHD 

Suy ra MN // AD ( tính chất ) ( đpcm)

b ) Ta có MN // CD , mà AD // BC ( 2 cạnh đối hình chữ nhật )

nên MN // BC hay MN // BI 

Vì MN = \(\frac{1}{2}\) AD ( tính chất đường trung bình của tam giác )

và BI = IC = \(\frac{1}{2}\)BC ( do gt )

mà AD = BC ( 2 cạnh đối hình chữ nhật )

MN = BI BC hay MN // BI

Xét tứ giác BMNI có MN // BI  , MN = BI ( c/m trên )

\(\Rightarrow\) tứ giác  BMNI là hình bình hành ( đpcm)

c ) Ta có MN // AD và \(AD\perp AB\) nên \(MN\perp AB\)

Tam giác ABN có 2 đường cao là AH và NM cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác ABN . Suy ra \(BM\perp AN\) 

Mà BM // IN nên \(AN\perp NI\) hay tam giác ANI vuông tại N ( đpcm )

Chúc bạn học tốt !!!