Cho hình bình hành ABCD, K là giao điểm của hai đường chéo. M và N là trung điểm của AD và BC. Các đường thẳng BM và DN cắt đường chéo AC tại P và Q.
a) Chứng minh AP = PQ = QC
b) Chứng minh MPNQ là hình bình hành.
c) Tìm mối quan hệ giữa CA và CD; MPNQ là hình chữ nhật.
d) Khi góc ACD = 90 độ thì MPNQ là hình gì?
e) Tìm điều kiện để tứ giác MPNQ là hình vuông.
a)
tứ giác ABCD là hình bình hành
=> K là trung điểm của AC, BD
xét tam giác ABD có:
AK là đường trung tuyến ứng với cạnh DB
BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AD
=> giao điểm của AK và BM là trọng tâm tam giác ABD
=>P là trọng tâm tam giác ABD
=>PK=1/2 PA và PK=1/3KA
cm tương tự ta có: KQ=1/2QC và KQ=1/3 KC
PK=1/3KA
KQ=1/3KC
KC=KA
=>PK=KQ
PQ=PK+KQ=2PK=AP=QC
=> AP=PQ=QC
b)
xét tam giácPBC có:
NB=NC
QP=QC
=>NQ là đường trung bình của tam giác PBC
=>NQ=1/2 BP và NQ//BP
cm tương tự ta có: MP=1/2DQ và MP//DQ
tứ giác ABCD là hình bình hành => AD//BC và AD=BC
=>1/2AD=1/2BC=>MD=NB
AD//BC=>tứ giác MBND là hình bình hành
=>MP//QN
MP=QN
=>tứ giác MPNQ là hình bình hành
c)
để hình bình hành MPNQ là hình chữ nhật thì hai đường chéo PQ và MN phải bằng nhau
ta có: PQ=AP=QC=1/2 AC
MN=(AB+CD):2=AB
MN=PQ
=> 1/2AC=AB
vậy để tứ giác MPNQ là hình chữ nhật thì AB=1/AC