Question

Cho hàm số y = 2 x 4  − 4 x 2  (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Với giá trị nào của m, phương trình  x 2 | x 2  − 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

(Đề thi đại học năm 2009; khối B)

Answer 1

a) Tập xác định: D = R

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; + ∞ )

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; −1); (0; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y C Đ  = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 hoặc x = -1; y C T  = −2

Đồ thị có hai điểm uốn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại:

b) Ta có:  x 2 | x 2  − 2| = m

⇔ 2 x 2  | x 2  − 2| = 2m

⇔|2 x 2 ( x 2  − 2)| = 2m

⇔|2 x 4  − 4 x 2 | = 2m

Từ đồ thị hàm số y = 2 x 4  – 4 x 2  có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |2 x 4  − 4 x 2 | như sau:

Phương trình: |2 x 4  − 4 x 2 | = 2m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

⇔ 0 < 2m < 2

⇔ 0 < m < 1