Question

Cho hai số thực m và n khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\). Chứng minh rằng trong hai phương trình \(x^2+mx+n=0\)và \(x^2+nx+m=0\)có ít nhất 1 PT có nghiệm .

 

Answer 1

Ta có:        \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow mn=2\left(m+n\right)\)

\(\Rightarrow2mn=4\left(m+n\right)\)

Từ Phương trình 1 lập \(\Delta_1\)

\(\Delta_1=m^2-4n\)

Phương trình 2 có \(\Delta_2=n^2-4m\)

lấy \(\Delta_1+\Delta_2\)

\(=m^2+n^2-4m-4n\)

\(=m^2-4\left(m+n\right)+n^2\)

\(=m^2-2mn+n^2\)

\(=\left(m-n\right)^2\ge0\)

vậy tồn tại delta1 hoặc delta 2 dương nên một trong 2 phương trình đã cho có ít nhất 1 phương trình có nghiệm