Question

Cho hai số a,b thỏa mãn a^2+b^2=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=a^6+b^6

Answer 1

\(A=a^6+b^6=\left(a^2\right)^3+\left(b^2\right)^3\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4-a^2b^2\right)\)

\(=1.\left[\left(a^4+b^4+2a^2b^2\right)-3a^2b^2\right]\)

\(=\left(a^2+b^2\right)^2-3a^2b^2\)

\(=1^2-3a^2b^2\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

\(\Rightarrow ab\le1:2=0,5\Rightarrow3a^2b^2\le\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A=1^2-3a^2b^2\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow MinA=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy ...