Question

Cho f(x)=ax^2+bx+x    biet f(0),f(1),f(2) thuoc Z. Cm vs k thuoc Z thi f(k) thuoc Z.

Answer 1

a) f(0) = a × 0 + b × 0 + 0 

f(0) = 0 

f(1) = a × 1 + b × 1 + 1 

=> f(1) = a + b +1 (1) 

=> Vì 1 là số nguyên nên a + b là số nguyên 

f(2) = a × 4 + b × 2 + 2 

=> f(2) = 4a + 2b + 2 

=> f(2) = 2 ( 2a + b ) ( đặt nhân tử chung)

Mà 2 là số nguyên => 2a + b là số nguyên 

=> ( 2a + b ) - ( a + b ) là số nguyên 

=> f(k) luôn luôn đạt giá trị nguyên (dpcm)

Answer 2

f(0)=c (nguyên) 

f(1)=a+b+c nguyên => a+b nguyên 

f(2)=4a+2b+c nguyên =>4a+2b nguyên 

=>2a+2(a+b)  nguyên

=> 2a nguyên 

Mặt khác :

f(k) =ak²+bk +c

        = (ak²-ak)+(ak +bk)  +c

        = ak(k-1)+ k (a+b)  +c

        = 2a.  k(k-1)/2 + k(a+b)  +c ( chỗ này k(k-1) trên một dòng nhé,  vì dùng ĐT nên khó vt xíu ^^")

Do k nguyên nên k(k-1) chia hết cho 2=> k(k-1)/2 nguyên. 

=> f(k) nguyên.