Question

Cho  \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b};x^2+y^2=1\). Chứng minh: 

a) bx² = ay²

b) \(\frac{x^{2008}}{a^{2004}}+\frac{y^{2008}}{b^{2004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\) 

Answer 1

Em vào câu hỏi tương tự tham khảo: 

a) Ta có: \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=1\)

Khi đó: \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b}\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)=x^4+2x^2y^2+y^4\)

<=> \(\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2\)

<=> \(\frac{x^4}{a^2}+\frac{y^4}{b^2}-\frac{2x^2y^2}{ab}=0\)

<=> \(\left(\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}\right)^2=0\)

a) \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\Leftrightarrow bx^2=ay^2\)

b)  \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)( dãy tỉ số bằng nhau)

Khi đó: \(\frac{x^{2008}}{a^{1004}}+\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=2\frac{x^{2008}}{a^{1004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\)