Question

Cho \(f\left(x\right)=\frac{2}{3}x^3+\left(\cos a-3\sin a\right)x^2-8\left(1+\cos a\right)x+1\)

a) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

b) Giả sử hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\). Chứng minh rằng \(x_1^2+x_2^2\le18\)

Answer 1

a) Xét phương trình : \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)

 Ta có : \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos2a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2\), \(a\ge0\) với mọi a

Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lí)

Vậy \(\Delta'>0\) 

với mọi a \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a\)

                             \(x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)

\(x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)

              \(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2=18-\left(3\sin a+\cos2a\right)\le18\)