Question

Cho \(f\left(x\right)=\frac{1}{3}mx^3-\left(m-1\right)x^2+3\left(m-2\right)x+\frac{1}{3}\)

đạt cực trị là \(x_1,x_2\). thỏa mãn  \(x_1+2x_2=1\)

 

 

Answer 1

Hàm số có cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt 

                                                      \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-3m\left(m-2\right)>0\end{cases}\)

                                                     \(\Leftrightarrow1-\frac{\sqrt{6}}{2}\)<\(m\ne0\) <\(1+\frac{\sqrt{6}}{2}\) (*)

Với điều kiện (*) thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1,}x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại 

 

Answer 2

........ đạt cực trị tại \(x_1,x_2.\)

Theo định lý Viet ta có : \(x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m};\) \(x_1\)\(x_2\)\(=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

Ta có :

\(x_1+2x_2=1\) \(\Leftrightarrow\) \(x_2=1-\frac{2\left(m-1\right)}{m}=\frac{2-m}{m}\); \(x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m}-\frac{2-m}{m}=\frac{3m-4}{m}\)

                       \(\Leftrightarrow\frac{2-m}{m}.\frac{3m-4}{m}=\frac{3\left(m-2\right)}{m}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(2-m\right)\left(3m-4\right)=3m\left(m-2\right)\)

                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=2\\m=\frac{2}{3}\end{cases}\)

Cả 2 giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy \(x_1+2x_2=1\Leftrightarrow m=2,m=\frac{2}{3}\)