Về bài toán tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên:
Ta có thể giải như sau:
1/ Tách phần nguyên:
Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó nhận giá trị nguyên B nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước ki của k và giải các phương trình B = ki rồi tìm các giá trị nguyên của biến.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên?
Giải: Ta có A
Khi x Z ta có x -1 Z, vậy A Z nhận giá trị nguyên
x -1 nhận giá trị là ước nguyên của 3
thoả mãn x Z)
Vậy với xthì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên ?
Giải : Ta có B = =
=
Khi x Z ta có x -5 Z , vậy AZ
x-5 nhận giá trị là ước nguyên của 3
Vậy với x6; 4; 8; 2 } thì biểu thức nhận giá trị nguyên .
2/ Một vấn đề đặt ra : khi phần dư không chỉ là một hằng số, mà phần dư là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B?
Khi đó ta viết Do hiểu sai bản chất vấn đề nên một số học sinh cho rằng :
nhận giá trị nguyên là phép chia A cho B có dư bằng 0, nên tiến hành giải phương trình: K = 0 để tìm giá trị của biến, vì vậy lời giải sai bản chất và thiếu nghiệm.
Chúng ta phải hiểu đây không phải là bài toán chia hết của đa thức mà phải là : “giá trị của biểu thức A chia hết cho biểu thức B” nên phải tìm giá trị của biến để “giá trị của biểu thức K chia hết cho giá trị của B”.
Khi đó với học sinh lớp 7, 8 các em có thể dùng tính chất chia hết của số nguyên để biến đổi bài toán về dạng 1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
nhận giá trị nguyên
Giải : Giả sử tồn tại x Z để (x -1) (2x2+1)
Z
Thử lại: với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1 Z
Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lưu ý : Đối với cách làm này , ta nhất thiết phải có bước thử lại rồi mới kết luận vì trong quá trình làm ta đã dùng tính chất :
ab a.c b (cZ ) mà a.c b có được ab chỉ khi (b,c) = 1.
Với học sinh lớp 9 các em có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình để tìm miền giá trị của biểu thức Trên cơ sở đó tìm các giá trị nguyên có thể có của biểu thức.
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Ta có:
Với xZ ta có x2 - 1 Z nên để A Z thì phải nhận giá trị nguyên.
Giả sử y0 là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để
phương trình: 2x = y0 (x2+x+1) có nghiệm x.
y0 x2 + (y0 - 2)x
