Để chứng minh rằng CI = CH, ta sẽ sử dụng các tính chất của các đường tiếp tuyến và hình chiếu.
Vì AB là đường kính của đường tròn (O), nên góc AOC là góc vuông. Do đó, tam giác AOC là tam giác vuông tại O.
Vì AD và CD là các tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ACD và góc AOD là góc vuông.
Vì H là hình chiếu của C trên AB, nên tam giác CHA và tam giác CDA là đồng dạng (có cạnh góc vuông chung và góc giữa các cạnh tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có:
∠CHA = ∠CDA (1)
Vì BD và CH là hai đường chéo của tứ giác ACDH, nên ta có:
∠BDC = ∠CHD (2)
Từ (1) và (2), ta có:
∠CHA = ∠CDA = ∠BDC = ∠CHD
Vậy, tam giác CHD và tam giác CHA là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Do đó, ta có:
∠CHD = ∠CHA
Vì ∠CHA = ∠CDA, nên ta có:
∠CHD = ∠CDA
Vậy, tam giác CHD và tam giác CDA là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Từ đó, ta có:
CH/CD = CD/CHD
CH^2 = CD * CHD
Vì I là giao điểm của BD và CH, nên ta có:
∠CID = ∠CHD
Vậy, tam giác CID và tam giác CHD là đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Do đó, ta có:
CI/CD = CD/CHD
CI^2 = CD * CHD
Vậy, CI = CH.
