Question

cho đường tròn tâm O bán kính \(\frac{AB}{2}\)

, C cố định nằm trên OA, M di động trên đường tròn tâm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia CN vuông góc CM ( N thuộc đường tròn ). Gọi K là trung điểm của MN

a) CMR: CM\(\le\)BC

b)CMR: \(KO^2+KC^2\)không đổi

Answer 1

a.Gọi M' là giao điểm của CM với đường tròn. Do C thuộc AO nên ta thấy ngay cung MB \(\ge\) cung AM'.

Lại có \(\widehat{CMB}=\frac{sđ\left(BM'\right)}{2}=\frac{180^o-sđ\left(AM'\right)}{2}\); \(\widehat{MBC}=\frac{sđ\left(AM\right)}{2}=\frac{180^o-sđ\left(BM\right)}{2}\)

Vậy nê \(\widehat{CMB}\ge\widehat{MBC}\Rightarrow BC\ge CM.\)

b. Ta thấy tam giác CMN vuông tại C, K là trung điểm MN nên theo định lý về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có: CK = NK = KM.

Lại có do K là trung điểm MN nên \(OK\perp MN.\)

Vậy thì \(CK^2+OK^2=NK^2+OK^2=ON^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{AB^2}{4}\) không đổi (đpcm).