Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AC, AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC
a. Chứng minh 3 điểm A,B,C,O thuộc 1 đường tròn
b. Chứng minh 3 điểm A,H,O thẳng hàng.Kẻ đường kính BD của đường tròn (O;R). Vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh \(AC.CD=CK.AO\)
c. Gọi giao điểm của AO với đường tròn tâm O là N. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d.Khi A di động trên tia By cố định, gọi M là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh M di động trên 1 đường cố định
a) Tam giác vuông ABO và ACO có chung cạnh huyền AO nên O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A.
Lại có AO là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì AO đi qua H hay A, H, O thảng hàng.
Theo liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta có \(\widehat{KDC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có: \(\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Suy ra \(\widehat{KDC}=\widehat{COA}\)
Vậy thì \(\Delta KDC\sim\Delta COA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CK}{AC}=\frac{CD}{AO}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)
c) Ta thấy \(\widehat{ABN}=\widehat{NBC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung chắn các cung bằng nhau)
Vậy nên BN là phân giác góc ABC.
Lại có AN là phân giác góc BAC nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d) Gọi J là trực tâm tam giác ABC. Ta có ngay \(JC\perp AB;BJ\perp AC\)
Vậy thì BO // JC ; BJ // OC
Suy ra tứ giác JBOC là hình bình hành.
Lại có OB = OC nên JBOC là hình thoi.
Từ đó ta có JB = JC = OB = OC = R.
Vậy khi A di chuyển trên tia By cố định thì BJ = R hay J thuộc đường tròn tâm B, bán kính R.
