Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm M thuộc đường (O) (MA < MB, M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh DABM vuông. Giả sử MA = 3cm, MB = 4cm, hãy tính MH.
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BM ở C. Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh đường thẳng NM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng MN tại D. Chứng minh NA.BD = R2.
d) Chứng minh OC vuông góc AD.
a . \(\Delta ABM\) nội tiếp (O) có đường kính \(AB\)
\(\rightarrow\Delta ABM\perp M\)
Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M, đường cao \(MH\) :
\(AB^2=AM^2+BM^2=3^2+4^2=25\)
\(\rightarrow AB=5\left(cm\right)\)
\(MH.BC=MA.MB\)
\(MH.5=3.4\)
\(\rightarrow MH=2,4\)
b .
\(\Delta AMC\) vuông tại M có MN là đường trung tuyến
\(MN=NA=NC=\frac{AC}{2}\)
Xét\(\Delta OAN\) và \(\Delta OMN\) có :
\(OA=OM=R\)
\(ON\) : cạnh chung
\(NA=NM\) (chứng minh trên)
\(\rightarrow\Delta OAN=\Delta OMN\left(c-c-c\right)\)
\(\rightarrow\Delta OAN=\Delta OMN=90^O\)
\(\rightarrow NM\perp OM\)
Mà \(M\in\left(O\right)\)
\(\rightarrow\)NM là tiếp tuyến của (O).
c .Ta có :
\(ON\) là tia phân giác của \(\Delta AOM\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(OD\) là tia phân giác của \(\Delta BOM\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\widehat{AOM}\) và\(\widehat{BOM}\) kề bù
\(OM\perp OD\)
Xét \(\Delta NOD\)vuông tại O, đường cao \(OM\) :
\(OM^2=MN.MD\)
Mà \(MN=NA\) và \(MD=DB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(AM^2=NA.DB\)
\(\rightarrow R^2=NA.DB\)
d .
Xét \(\Delta AON\) và \(\Delta BDO\) có :
\(\Delta OAN=\Delta DBO=90^O\)
\(\Delta AON=\Delta BDO\) (cùng phụ với \(\Delta DOB\))
\(\rightarrow\Delta AON\) đồng dạng với \(\Delta BDO\) \(\left(g-g\right)\)
\(\rightarrow\frac{AN}{AO}=\frac{BO}{BD}\)
\(\rightarrow\frac{2.AN}{AO}=\frac{2.BO}{BD}\)
\(\rightarrow\frac{AC}{AO}=\frac{BA}{BD}\)
\(\rightarrow tanAOC=tanADB\)
\(\rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{ADB}\)
Mà \(\widehat{ADB}\) phụ với \(\widehat{DAB}\)
\(\widehat{AOC}\) phụ với \(\widehat{DAB}\)
\(\rightarrow OC\perp AD\)
Làm máy tính hơi chậm thông cảm nhé
