Question

Cho đường tròn (O), đường kính AB. P là một điểm trên tiếp tuyến của (O) tại B (P khac B). Đường thẳng AP cắt (O) lần thứ hai tại C. D là điểm đối xứng của C qua O. Đường thẳng DP cắt (O) lần thứ hai tại E.

(a) Chứng minh rằng AE, BC, PO đồng quy tại M.

(b) Tìm vị trí của điểm P để diện tích tam giác AMB là lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R là bán kính của (O)

Answer 1

 (a) Gọi F là giao điểm của AE và BP. 

Từ tính chất góc nội tiếp và đường cao của tam giác vuông ta dễ thấy :∠AEC = ∠ABC = ∠BPCvậy tứ giác CPFE nội tiếp. Từ đó suy ra ∠CPE = ∠CFE, ∠PCE = ∠EFBCộng các đẳng thức góc với chú ý ∠CEP = 90◦ , ta suy ra 90◦ = ∠CPE +∠PCE = ∠CFE +∠EFB = ∠CFB, hay CF ⊥ PB, và do đó CF ∥ AB.Bổ đề. Cho hình thang ABCD, AB ∥ CD. Giả sử AC cắt BD tại O và AD cắt BC tại I. Khi đó, OI đi qua trung điểm AB và CD.CMVẽ đường thẳng EF đi qua O và song song CD.
Ta có EO//DC ⇒ OE/DC = AO/AC (1)
OF//DC ⇒ OF/DC = BO/BD (2)
Ta có: AB//DC ⇒ OA/OC = OB/OD
⇒ OA/ (OC + OA) = OB/(OD+ OB) ⇒ OA/AC = OB/BD (3)
Từ (1),(2),(3) ta có OE/DC = OF/DC ⇒ OE = OF
Ta có AB//EF
⇒ AN/EO = IN/IO và BN/FO = IM/KO
⇒ AN/EO = BN/FO ⇒ AN = BN
Tương tự: FE//DC ⇒ EO/DM = IO/IM
và FO/CM = IO/IM ⇒EO/DM=FO/CM ⇒ DM=CM suy ra đường thẳng OI đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.Bổ đề dc CMGọi M' là giao điểm của CB và AE. Áp dụng bổ đề cho hình thang ABFC, ta có M'P đi qua trung điểm AB hay M'P đi qua O. Vậy AE, BC, OP đồng quy tại M', đó là điều phải chứng minh. (b) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác APO với C, M, B thẳng hàng, ta dễ thấy OM/ OP = CA /(CA +2CP) . Từ đó ta có S(M AB)/ S(PAB) = OM/OP = CA/(CA +2CP ). Suy ra S(MAB) = S(PAB) · CA/(CA +2CP)>/= S(PAB) · CA 2can2BC = (BC ·P A )/2 · CA /2 can2BC = 4R^2/ 4can2 = R^2/can2 . Đẳng thức xảy khi PB = can 2R.Hok Tốt =>>>>>>>>>>>> 

Answer 2

Answer 3