Vẽ Hình
b) Vì 
nên 
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD hay
N
1
,
nằm trên đường tròn đường kính CD
Tương tự như vậy ta chứng minh được N 2 , N 3 nằm trên đường tròn đường kính CD
Vậy N 1 , N 2 , N 3 nằm trên đường tròn đường kính CD
Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d khoog qua O và cắt đường tròn tại 2 điểm A và B. Từ 1 điểm C trên d ( A nằm giữa B và C ), vẽ tiếp tuyến CN vớ đường tròn (N là tiếp điểm, N thuộc cung AB lớn ). Gọi E là trung điểm của đoạn AB.
a) Chứng minh 4 điểm O, N, C, E cùng nằm trên 1 đường tròn
b) Chứng minh: CN2 = CA.CB
c) Gọi H là hình chiếu của điểm N trên OC. Chứng minh góc OAB = góc CHA
d) Tia CO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm I và D (I nằm giữa C và D). Chứng minh: IC.DH = DC.IH
Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).
1. CM: Tứ giác CDNE nội tiếp
2. CM: 3 điểm C, K và N thẳng hàng
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên 1 đường thằng cố định khi điểm M thay đổi
Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M, N là 2 điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM,ON lấy lần lượt các điểm M' và N' sao cho OM.OM'=ON.ON'=R^2
a) Chứng minh rằng bốn điểm M,N,M',N' thuộc cùng 1 đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M' thuộc 1 đường tròn cố định
c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO+MA đạt giá trị nhỏ nhất
d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO+MA đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5: Cho trước đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm AB. Trên đoạn AO lấy điểm M tuỳ ý, vẽ nửa đường thẳng qua M và vuông góc với AB, trên nửa đường thẳng này lấy 2 điểm C, D sao cho MA = MC và MB = MD. Đường thẳng BC cắt đường tròn qua 3 điểm A, M, C tại điểm thứ 2 là N.
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng.
1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA. Bán kính OC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại D. Vẽ CH vuông góc AB. Chứng minh tứ giác ACDH là hình thang cân.
2. Cho tứ giác ABCD có góc C+góc D=90 độ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng một nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D sao cho cung AC nhỏ hơn cung AD. Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Vẽ đường tròn tâm I đường kính TO cắt đường tròn tâm O tại M và N (M nằm trên nửa đường tròn tâm O chứa điểm C). Gọi E là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:
1. TM là tiếp tuyến của (O).
2. TM2 = TC. TD
3. 4 điểm O, D, C, E cùng nằm trên một đường tròn.
(mình cần câu 3 thôi)
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 cm . Chứng minh rằng : 4 đỉnh của hình vuông ABCD cùng nằm trên 1 đường tròn . Hãy tính bán kính đường tròn đó
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC . Vẽ đường tròn tâm O , bán kính BC , nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E
a)CMR: CD vuông góc với AB , BE vuông góc với AC
b) gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc BC
Bài 3:Cho hình thang ABCD , AB//CD, AB<CD , có góc C=góc D=60 độ , CD=2AD . Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn. Tính diện tích đường tròn đó biết CD=4cm
Bài 4:Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của DE , EB, BC, CD. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O.
a) Chứng minh: AB.AC=AD.AK và SABC=\(\frac{AB.BC.CA}{4R}\)
b) Chứng minh OA vuông góc với EF
c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh rằng 4 điểm A, B ,N, M thuộc một đường tròn.
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm trong tam giác sao cho CD=CA. M là một điểm trên cạnh AB sao cho ˆBDM=\(\frac{1}{2}\)ˆACD. N là giao điểm của MD và đường cao AH củaΔABCΔABC. Chứng minh DM=DN.
Cho tam giác ABC vuông tại A, M Là trung điểm của AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N ( N không trùng với C) đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D (D không trùng với M )
a) Chứng minh: 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn. Tìm tâm đó.
b) Chứng minh: OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.
c) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh: 3 điểm P, M, N thẳng hàng.
d) Gọi I,K lần lượt là trung điểm BP và MC. Chứng minh: IK\(⊥\)ND
Cho đường tròn tâm O và dây AB không là đường kính. Trên đoạn AB lấy điểm P (P khác A,B). Qua A,P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P). Chứng minh:
1) ANP=BNP
2) Điểm N nằm trên đường tròn đường kính OP.
3) OA . BN <= OB . AN + ON . AB
