Question

cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O. Từ A kẻ cát tuyến ABC không đi qua O với (O) (B nằm giữa A và C). Đường kính DE vuông góc với BC tại K, AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I.

a. CMR tứ giác DFIK nội tiếp

b. Lấy H đối xứng I qua K. CMR \(\widehat{DHA}=\widehat{DEA}\)

C. CM: AI.KE.KD=KI.AB.AC

Answer 1

Answer 2

a.Ta có DE là đường kính của (O) 

\(\Rightarrow EF\perp DF\)

Mà \(DE\perp BC=K\Rightarrow\widehat{EKI}=\widehat{EFD}=90^0\)

=> DFIK nội tiếp 

b ) Ta có : 

\(AK\perp DE,EF\perp DF\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AKE}=90^0\)

\(\Rightarrow AFKE\) nội tiếp 

Mà IK = HK , \(DE\perp BC=K\) => DE là trung trực của HI 

 \(\Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DHK}=\widehat{DIK}=\widehat{DFK}=\widehat{DEA}\)

c ) Ta có : \(\widehat{EIK}=\widehat{DAK}\)do AFKE nội tiếp

\(\widehat{AKD}=\widehat{EKI}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta AKD~\Delta EKI\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AK}{EK}=\frac{KD}{KI}\)

\(\Rightarrow KE.KD=KI.AK\)

Lại có : \(\widehat{AFI}=\widehat{AKD}=90^0\Rightarrow\Delta AFI~\Delta AKD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AI}{AD}\Rightarrow AE.AD=AI.AK\)

Mà BCDF nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{ACD}\Rightarrow\Delta ABF~\Delta ADC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AF.AD=AB.AC\)

\(\Rightarrow AB.AC=AI.AK\)

=> KI.AB.AC = AI.AK.KI= AI.KE.KD