Question

Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AC, HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB, HC. Chứng minh DEMN là hình thang vuông.

Answer 1

hình bạn tự vẽ nhé 

hơi tắt nhưng chắc bạn hiểu 

gọi AH giao với ED=O

ta dễ dàng có \(OE=OH;EM=MH\)

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\\\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\end{cases}}\)

=> \(\widehat{MED}=\widehat{MHO}=90^o\)

tương tự ta có \(\widehat{EDN}=90^o\)

=> EM//DN(cùng vuông góc với ED=> DEMN là hình thang 

                                                            Mà \(\widehat{EDN}=90^o\)

=> DEMN là hình thang vuông  (ĐPCM)

Answer 2

- Xét \(\Delta BEH\)vuông tại E (vì EH vuông góc với AB) 
có EM là đường trung tuyến 
suy ra BM = ME = MH

- Xét \(\Delta EMH\)có EM = MH (cmt)  suy ra  \(\Delta EMH\)cân tại M
                                                           suy ra  \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)                                \(\left(1\right)\)

- Ta có: HE vuông góc với AE (gt)   và  AD vuông góc với AE (gt)        
suy ra  EH // AD
suy ra   EHDA là hình thang

-  Ta lại có:   AE vuông góc với AD (gt)  và HD vuông góc với AD (gt)      
suy ra AE // HD

- Xét hình thang EHDA  có   EA // HD (cmt) và EH // AD (cmt)
suy ra EA = HD và EH = AD

- Dễ thấy  \(\Delta AHE=\Delta DEH\)(c.g.c)
suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{EHA}\)                                                                                          \(\left(2\right)\)
- Cộng \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)theo từng vế,
ta được: \(\widehat{MEH}+\widehat{HED}=\widehat{MHE}+\widehat{EHA}=90^0\)
suy ra ME vuông góc với ED

- chứng minh tượng tự ND vuông góc với ED
                              mà  ME vuông góc với ED
suy ra ND // ME

- Xét tứ giác  EMND có ND // ME
suy ra EMND là hình thang
mà \(\widehat{MED}=90^0\) suy ra (đpcm)
 

Answer 3

Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ

Answer 4

- Xét ΔBEHvuông tại E (vì EH vuông góc với AB) 
có EM là đường trung tuyến 
suy ra BM = ME = MH

- Xét ΔEMHcó EM = MH (cmt)  suy ra  ΔEMHcân tại M
                                                           suy ra  ^MEH=^MHE                                (1)

- Ta có: HE vuông góc với AE (gt)   và  AD vuông góc với AE (gt)        
suy ra  EH // AD
suy ra   EHDA là hình thang

-  Ta lại có:   AE vuông góc với AD (gt)  và HD vuông góc với AD (gt)      
suy ra AE // HD

- Xét hình thang EHDA  có   EA // HD (cmt) và EH // AD (cmt)
suy ra EA = HD và EH = AD

- Dễ thấy  ΔAHE=ΔDEH(c.g.c)
suy ra ^HED=^EHA                                                                                          (2)
- Cộng (1)và (2)theo từng vế,
ta được: ^MEH+^HED=^MHE+^EHA=900
suy ra ME vuông góc với ED

- chứng minh tượng tự ND vuông góc với ED
                              mà  ME vuông góc với ED
suy ra ND // ME

- Xét tứ giác  EMND có ND // ME
suy ra EMND là hình thang
mà ^MED=900 suy ra (đpcm)