Question

Cho \(\Delta ABC\)vuông cân tại A. Vẽ đường thẳng a qua điểm A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ a. Vẽ BG, CK vuông góc với a( H,K \(\in\)a). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) AH = CK                                                 b) HK= BH + CK                                                          c) \(\Delta MHK\)vuông cân

Answer 1

a) Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHB\)và \(\Delta CKA,\)ta có:

AB = AC, giả thiết

\(\widehat{A}_1=180^o-\widehat{BAC}-\widehat{A}_2=180^o-90^o-\left(90^o-\widehat{C_1}\right)=\widehat{C_1}\)

Suy ra:

\(\Delta AHB=\Delta CKA\)(cạnh huyền và góc nhọn)

\(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{A}_2,BH=AK\)và \(AH=CK,đpcm\)

b) Ta có:

\(HK=AK+AH=BH+CK,đpcm\)

c) Xét hai tam giác \(\Delta MHB\)và\(\Delta MKA\), ta có:

BH = AK theo kết quả a)

\(\widehat{HBM}=\widehat{HBA}+\widehat{ABM}=\widehat{A_2}+45^o=\widehat{KAM}\)

\(MB=\frac{1}{2}BC=MA,\)trung tuyến thuộc cạnh huyền

Suy ra:

\(\Delta MHB=\Delta MKA\left(c.g.c\right)\)

Từ đó ta có: 

\(MH=MK\Rightarrow\Delta MHK\)cân.

\(\widehat{BHM}=\widehat{AMK}\Rightarrow\widehat{HMK}=\widehat{HMA}+\widehat{AMK}=\widehat{HMA}+\widehat{BMH}=\widehat{BMA}=90^o\)

Vậy, \(\Delta MHK\)vuông cân.