Cho \(\Delta ABC\)vuông A, M là trung điểm AC, D đối xứng B qua M, N đối xứng B qua A. MN cắt BC tại I. Qua A vẽ đường thẳng song song với MN cắt BC tại K, qua B vẽ đường thẳng song song với Mn cắt CA tại E. \(\Delta ABC\)cần gì để tứ giác EBMN là hình vuông?
Gợi ý: chứng minh tứ giác EBMN là hình thoi
Giải: Xét t/giác ABE và t/giác ANM
có: AB = BN (gt)
\(\widehat{B_1}=\widehat{N_1}\) (slt của AE // MN)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (đối đỉnh)
=> t/giác ABE = t/giác ANM (g.c.g)
=> EA = AM (2 cạnh t/ứng)
Xét tứ giác EBMN có AB = AN (gt)
EA = MA (cmt)
=> tứ giác EBMN là hình bình hành
có BN \(\perp\)EM (gt)
=> EBMN là hình thoi
Để hình thoi EBMN là hình vuông
<=> EM = BN <=> AB = AM
do AM = MC = 1/2AC
<=> AB = 1/2AC
<=> AC = 2AB
Vậy để tứ giác EBMN là hình vuông <=> t/giác ABC có AC = 2AB
