Gọi giao điểm của NP với AB và AC lần lượt là I và J.
Gọi giao điểm của NM với BI là K; của MQ với JC là H.
Theo giả thiết ta suy ra K, H lần lượt là trung điểm của NM và MQ. Hơn nữa ta cũng có \(NM\perp BI;MQ\perp JC\)
Do NP // MQ mà \(MQ\perp JH\) nên \(NP\perp JH\)
\(\Rightarrow\widehat{AIJ}=90^o-\widehat{BAC}=30^o\)
Vậy nên \(\widehat{NIB}=\widehat{AIJ}=30^o\) (Hai góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{NIK}=90^o-\widehat{NIB}=60^o\)
Xét tứ giác NPQM có NP // MQ; NM // PQ nên NPQM là hình bình hành.
Vậy \(\widehat{PQM}=\widehat{INM}=60^o\)
Ta có \(\widehat{BMK}=90^o-\widehat{ABC}=30^o;\widehat{NMI}=\widehat{INM}=60^o;\widehat{CMH}=90^o-\widehat{ACB}=30^o\)
nên \(\widehat{IMH}=180^o-30^o-60^o-30^o=60^o\)
Suy ra \(\widehat{IMH}=\widehat{PQH}\left(=60^o\right)\)
Xét hình thang IPQM có \(\widehat{IMH}=\widehat{PQH}\) nên nó là hình thang cân.
Ta có H là trung điểm MQ, \(JH\perp MQ;JH\perp IP\) nên I là trung điểm IP.
Xét tam giác AIP có AJ là đường cao đồng thời trung tuyến nên AIP là tam giác cân tại A.
Vậy AJ cũng là phân giác hay \(\widehat{JAP}=\widehat{JAI}=60^o\)
Suy ra \(\widehat{JAP}=\widehat{ACB}\left(=60^o\right)\)
Mà chúng lại ở vị trí so le trong nên AP // BC.
