Question

Cho dãy un xác định bởi \(u_1=1\)và \(\dfrac{u_{n-1}^2+2021}{2u_{n-1}}\).Chứng minh dãy đó có giới hạn và tìm giới hạn dãy đó

Answer 1

 Dễ thấy \(u_n>0,\forall n\inℕ^∗\). 

 Ta có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2+2021}{2u_n}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}\)

 Với \(n\ge2\) thì \(u_n=\dfrac{u_{n-1}^2+2021}{2u_{n-1}}\) \(=\dfrac{u_{n-1}}{2}+\dfrac{2021}{2u_{n-1}}\) \(>2\sqrt{\dfrac{u_{n-1}}{2}.\dfrac{2021}{2u_{n-1}}}\) \(=\sqrt{2021}\)

Vậy \(u_n>\sqrt{2021},\forall n\ge2\), suy ra \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2021-u_n^2}{2u_n}< 0,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\) Dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy giảm. Mà \(u_n>\sqrt{2021}\)  \(\Rightarrow\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Đặt \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=L\) \(\Rightarrow L=\dfrac{L^2+2021}{2L}\) \(\Leftrightarrow L=\sqrt{2021}\)

 Vậy \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\sqrt{2021}\)

 

Answer 2

Dễ thấy $u^n>0,\forall n\in N^{\ast }$. 

 Ta có $u^{n+1}-u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^n+2021}{2u^n}-u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{2021-u^n}{2u^n}$

 Với $n\ge 2$ thì $u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^{n-1}+2021}{2u^{n-1}}$ $=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^{n-1}}{2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2021}{2u^{n-1}}$ $>2\sqrt{\genfrac{}{}{0ex}{}{u^{n-1}}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{2021}{2u^{n-1}}}$ $=\sqrt{2021}$

Vậy $u^n>\sqrt{2021},\forall n\ge 2$, suy ra $u^{n+1}-u^n=\genfrac{}{}{0ex}{}{2021-u^n}{2u^n}<0,\forall n\in N^{\ast }$

$\Rightarrow$ Dãy $\left(u^n\right)$ là dãy giảm. Mà $u^n>\sqrt{2021}$  $\Rightarrow \left(u^n\right)$ có giới hạn hữu hạn. Đặt $\stackrel{\lim }{n\to +\infty }{u}^n=L$ $\Rightarrow L=\genfrac{}{}{0ex}{}{L^2+2021}{2L}$ $\iff L=\sqrt{2021}$

 Vậy $\stackrel{\lim }{n\to +\infty }{u}^n=\sqrt{2021}$
 

Answer 3

lim(n =) + ∞) u_n = \(\sqrt{2021}\) 

Answer 4

ngu

thế mà cũng ko biết làm