Question

cho dãy số a₁,a₂,...a_n được xác định như sau:

a₁=1;a₂=\(1+\frac{1}{2}\);a₃=\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\);...;a_n=\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\)

Chứng minh rằng \(\frac{1}{a_{1^2}}+\frac{1}{2a_{2^2}}+...+\frac{1}{na_{n^2}}< 2\)với mọi số tự nhiên n>1

Answer 1

\(a_1=1,a_2=1+\frac{1}{2},a_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},...,a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow a_1< a_2< ...< a_n\left(\text{vì }n\inℕ,n>1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a_1\right)^2}+\frac{1}{\left(2.a_2\right)^2}+....+\frac{1}{\left(n.a_n\right)^2}< \frac{1}{\left(a_1\right)^2}+\frac{1}{\left(2.a_1\right)^2}+....+\frac{1}{\left(n.a_1\right)^2}\)

\(=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1+\frac{1}{1.2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=2-\frac{1}{n}< 2\left(\text{vì }n\inℕ,n>1\right)\)

Vậy...

p/s: lần sau bạn viết đề rõ ra :(( 

Answer 2

mik viết khá rõ mà

Answer 3

b viết ko có dấu ngoặc và số mũ ko đúng chỗ :)) hơi khó hiểu 

Answer 4

bn kết bn với minh đi,mình còn vài bài nữa

Answer 5

Với mọi \(k\ge2\)ta có: \(\frac{1}{k.a_k^2}< \frac{1}{k.a_{k-1}.a_k}\)(vì a_k > a_{k - 1})

Ta có: \(\frac{1}{a_{k-1}}-\frac{1}{a_k}=\frac{a_k-a_{k-1}}{a_{k-1}.a_k}=\frac{1}{k.a_{k-1}.a_k}\)

Suy ra \(\frac{1}{k.a_k^2}< \frac{1}{a_{k-1}}-\frac{1}{a_k}\)

Cho k = 2; 3; 4; ...; n ta có: 

\(\frac{1}{2a_2^2}< \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2};\frac{1}{3a_3^2}< \frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3};...;\frac{1}{na_n^2}< \frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}\)

Cộng theo vế ,ta được:

\(\frac{1}{2a_2^2}+...+\frac{1}{na_n^2}< \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{2a_2^2}+...+\frac{1}{na_n^2}< 1+1=2\left(đpcm\right)\)