Question

Cho đa thức  P(x)=ax² + bx +c   với a,b,c là các hệ số nguyên. Biết rằng  P(x) chia hết cho 5 với mọi x.CMR a,b,c cũng chia hết cho 5

Answer 1

Nếu x=0 thì ta có: P(0)=a.0^2+b.0+c

=0+0+c=c

Vì P(x) chia hết cho 5 với mọi x nên c chia hết cho 5.

Nếu x=1 thì ta có:P(1)=a.1^2+b.1+c

=a.1+b+c

=a+b+c

vì c chia hết cho 5 => (a+b) chia hết cho 5

Nếu x=-1 thì ta có:P(-1)=a.(-1)^2+b.(-1)+c

=a.1+(-b)+c

=a-b+c

vì c chia hết cho 5 => (a-b) chia hết cho 5

Ta có: P(1)+P(-1)=a+b+a-b=2a

Vì P(1) + P(-1) chia hết cho 5 mà (2;5)=1 => a chia hết cho 5

Ta có:P(1)-P(-1)=a+b-a-b=2b

Vì P(1)-(P-1) chia hết cho 5 mà (2;5)=1=> b chia hết cho 5

Vậy a,b,c chia hết cho 5(ĐPCM)