Question

 Cho đa thức P(x) = ax³ +bx² + cx + d có các hệ số a,b,c,d nguyên.

Biết P(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng minh: a; b; c; d chia hết cho 5

Answer 1

Có \(P\left(x\right)⋮5\)với mọi x

=> \(P\left(0\right)=d⋮5\)

     \(P\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\)

     \(P\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\)

     \(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\)

     \(P\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d\)

=> \(a+b+c⋮5\)và \(-a+b-c⋮5\)

=> \(a+b+c+\left(-a+b-c\right)⋮5\)

=> \(2b⋮5\)

Mà 2 là SNT và b nguyên

=> \(b⋮5\)

=> \(a+c⋮5\); \(-a-c⋮5\); \(8a+2c⋮5\); \(-8a-2c⋮5\)

=> \(2\left(a+c\right)⋮5\)

=> \(2a+2c⋮5\)

=> \(2a+2c+\left(-8a-2c\right)⋮5\)

=> \(-6a⋮5\)

mà 6 không chia hết cho 5

=> \(a⋮5\)

=> \(b⋮5\)

quá đơn giản với BỐ