Đặt đa thức \(f\left(x\right)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_k\)(trong đó \(n\ge2\)và \(a_k\)là hệ số tự do)
\(\Rightarrow f\left(5\right)=a_0.5^n+a_1.5^{n-1}+a_2.5^{n-2}+...+a_k\)
Dễ thấy 5 là số nguyên tố nên các lũy thừa bậc n; n - 1; n - 2;... của 5 không chia hết cho 7.
Vậy để \(f\left(5\right)⋮7\)thì tất cả các hệ số chia hết cho 7 hay \(a_0;a_1;a_2;...;a_k⋮7\)(1)
Tương tự với \(f\left(7\right)⋮5\)ta có \(a_0;a_1;a_2;...;a_k⋮5\)(2)
Vì (5,7) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra \(a_0;a_1;a_2;...;a_k⋮35\)
Lúc đó f(x) chia hết cho 35 với mọi x
Vậy f(12) chia hết cho 35 (đpcm)
