Question

Cho đa thức: \(A=x^4-6x^3+27x^2-54x+32\)

Phân tích A thành nhân tử 

CMR: Đa thức A luôn có giá trị chẵn \(\forall x\in Z\)

Answer 1

\(A=x^4-6x^3+27x^2-54x+32\)

\(=x^4-5x^3+22x^2-32x-x^3+5x^2-22x+32\)

\(=x\left(x^3-5x^2+22x-32\right)-\left(x^3-5x^2+22x-32\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+22x-32\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3-3x^2+16x-2x^2+6x-32\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[x\left(x^2-3x+16\right)-2\left(x^2-3x+16\right)\right]\)

\(=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2-3x+16\right)\)

Vì \(x\in Z\)=> x-1;x-2 là 2 số nguyên liên tiếp => \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)⋮2\)

\(\Rightarrow A=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2-3x+16\right)⋮2\) hay A là số chẵn (đpcm)

Answer 2

\(A=x^4-6x^3+27x^2-54x+32\)

\(=x^4-x^3-5x^3+5x^2+22x^2-22x-32x+32\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+22x-32\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[x^2\left(x-2\right)-3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)\right]\)

\(=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2-3x+16\right)\)

Vì \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)⋮2\) nên A là số chẵn với mọi x thuộc Z