Question

cho đa thức A=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16

CMR vs mọi sô tự nhiên x thì A luôn là 1 số chính phương

Answer 1

A = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16 =(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16 =(x²+10x+16)(x²+10x+24)+16

đặt t=x²+10x+20

ta được: (t-4)(t+4) =t²-16 thay lại biểu thức A ta đc:

A = t² -16 +16 =t² =(x²+10x+20)²

Vậy A là số CP

Answer 2

\(A=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)+16\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+16\)

Đặt \(y=x^2+10+20\)

\(\Rightarrow A=\left(y-4\right)\left(y+4\right)+16\)

\(\Leftrightarrow A=y^2-16+16\)

\(\Leftrightarrow A=y^2=\left(x^2+10x+20\right)^{20}\)

Vậy với mọi STN x thì A luôn là 1 số chính phương