Question

Cho D = \(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{19}+5^{20}\)

Tìm số dư khi chia D cho 31

Answer 1

D = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ +...+ 5¹⁹ + 5²⁰ - 1

D = (1 + 5 + 5²) + (5³ + 5⁴ + 5⁵) +...+ (5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰) - 1

D = (1 + 5 + 5²) + 5³ (1 + 5 + 5²) +...+ 5¹⁸ (1 + 5 + 5²) - 1

D = (1 + 5 + 5²) (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 1

D = 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 1

D = 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 + 30

Vì 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 chia hết cho 31 

Nên 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 + 30 chia cho 31 dư 30

Vậy D chia 31 dư 30 

    

Answer 2

D =5+5^2+5^3+......+5^19+5^20

→ Tổng D có số các số hạng là : (20-1)/1+1 =20

→ Ta chia tổng D thành 6 nhóm mỗi nhóm gồm 3 số và thừa ra ngoài 2 số

→ D = (5+5^2) + (5^3+5^4+5^5) + (5^6+5^7+5^8) + ........ + (5^18+5^19+5^20)

       =  (5+25) + 5^3.(1+5+5^2) + 5^6.(1+5+5^2) + ......... + 5^18.(1+5+5^2)

       =  30 + (5^3+5^6+.......+5^18).(1+5+25)

       =  30 + (5^3+5^6+.......+5^18).31

Ta thấy : 31 chia hết cho 31 nên (5^3+...+5^18).31 chia hết cho 31

             30 chia cho 31 dư 30

→ D chia cho 31 dư 30

 Vậy D chia cho 31 dư 30