Question

Cho các số x,y,z thỏa mãn:

x² + y² + z² + 1/x² + 1/y² + 1/z² = 6

Tính P= x²⁰¹⁸ + y²⁰¹⁹ + z²⁰²⁰

Answer 1

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=6\)

<=> \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}-2\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}-2\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}-2\right)=0\)

<=> \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2+\left(z-\frac{1}{z}\right)^2=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\\z-\frac{1}{z}=0\end{cases}}\) 

<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\y=\frac{1}{y}\\z=\frac{1}{z}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x^2=1\\y^2=1\\z^2=1\end{cases}}\)

<=> x = y = z = \(\pm\)1

Với x = y = z = 1 => P = 1²⁰¹⁸ + 1²⁰¹⁹ + 1²⁰²⁰ = 3

     x = y = z = -1 => P = (-1)²⁰¹⁸ + (-1)²⁰¹⁹ + (-1)²⁰²⁰ = 1

Vậy ...