Question

Cho các số tự nhiên khác 0 : a , b , c sao cho : 

P = b^c + a .

Q = a^b  + c .

R = c^a + b .

là các số nguyên tố .

Chứng minh rằng hai trong 3 số bằng nhau .

Answer 1

Trong 3 số tự nhiên a,b,c phải có ít nhất hai số cùng chẵn lẻ

Giả sử : hai số đó là a, b

Vì:  \(b^c\)cùng tính chẵn lẽ với b \(\Rightarrow\)P = \(b^c\)+ a chẵn

Mà: P là số nguyên tố \(\Rightarrow\)P= 2 \(\Rightarrow\)b = a =1

Khi đó : Q = \(a^b\)+ c  = 1 + c = \(c^a\)+ 1 = \(c^a\) + b =R 

Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ thì ta làm như trên

\(\Rightarrow\)Trong ba số nguyên tố P,Q,R phải có hai số bằng nhau

Answer 2

P = b^c + a

Q = a^b + c

R = c^a + b

P + Q + R = b^c + a + a^b + c + c^a + b = 2( a + b + c )²

P + Q + R chẵn

+ Nếu P + Q + R chẵn thì có ít nhất 2 trong 3 số đó bằng nhau.

+ Nếu 1 trong 2 số bằng 2.

GIả sử P = 2 <=> P = b^c + a = 1 + 1 

mà a; b; c \(\in\)Z+  => 2 = 1 + 1 = b^c + a = a^b + c <=> P = Q

=> dpcm