Question

Cho các số thực x,y,z khác 0 thỏa mãn xy/x+y = yz/y+z = zx/z+x chứng minh rằng x=y=z

Answer 1

Để chứng minh x = y = z từ điều kiện cho trước, ta nghịch đảo hai vế của từng phân số để có được 1x+1y=1y+1z=1x+1z1 over x end-fraction plus 1 over y end-fraction equals 1 over y end-fraction plus 1 over z end-fraction equals 1 over x end-fraction plus 1 over z end-fraction1𝑥+1𝑦=1𝑦+1𝑧=1𝑥+1𝑧. Từ đó, ta suy ra 1x=1y=1z1 over x end-fraction equals 1 over y end-fraction equals 1 over z end-fraction1𝑥=1𝑦=1𝑧, và do x, y, z khác 0, ta có x = y = z.  Các bước chứng minh: Nghịch đảo các phân số: Cho $ \frac{xy}{x+y} = \frac{yz}{y+z} = \frac{zx}{z+x} $.
Vì x, y, z khác 0 nên các phân số này khác 0, ta có thể nghịch đảo:
$ \frac{x+y}{xy} = \frac{y+z}{yz} = \frac{z+x}{zx} $.  Tách các phân số: $ \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{y}{yz} + \frac{z}{yz} = \frac{z}{zx} + \frac{x}{zx} $.  Rút gọn: $ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} $.  Sử dụng tính chất của đẳng thức: Từ $ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{z} + \frac{1}{y} $, ta trừ $ \frac{1}{y} $ ở cả hai vế, thu được:
$ \frac{1}{x} = \frac{1}{z} $.
Tương tự, từ $ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} $, ta trừ $ \frac{1}{z} $ ở cả hai vế, thu được:
$ \frac{1}{y} = \frac{1}{x} $.  Kết luận: Kết hợp các kết quả trên, ta có $ \frac{1}{x} = \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $.
Vì x, y, z khác 0, ta có thể suy ra $ x = y = z $

Answer 2