111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
8
555566655
5665656746565656+5965=?
Ta có: \(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) ( với a,b,c dương)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c
Lại có: \(\frac{1}{x+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1\right);\frac{1}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+1\right);\frac{1}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+1\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge\)\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z}+1\right)\)
\(=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\frac{9}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của P= 3/2 <=> x=y=z=1