Question

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x² + y² + z² = 3. Chứng minh rằng: x³ + y³ + z³ + x + y + z ≥ 6

*Dùng BĐT Cô Si thì càng tốt nhé

Answer 1

\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge2\sqrt{x^3.x}+2\sqrt{y^3.y}+2\sqrt{z^3.z}\)(BĐT Cô si)

\(VT\ge2\sqrt{x^4}+2\sqrt{y^4}+2\sqrt{z^4}\)

\(VT\ge2x^2+2y^2+2z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=3\\x^3=x;y^3=y;z^3=z\end{cases}< =>x=y=z=1}\)

\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge6< =>ĐPCM\)

Answer 2

còn cách khác nè :p

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : 

\(x^3+y^3+z^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge\frac{9}{x+y+z}+\left(x+y+z\right)\ge2\sqrt{\frac{9}{x+y+z}\cdot\left(x+y+z\right)}=6\)( AM-GM )

=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Answer 3

Cảm ơnnnn <3 <3 <3 <3 <3