Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}(1)$
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cách khác:
Đặt $(a+b,b+c,c+a)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z-y}{2}, \frac{x+y-z}{2}, \frac{y+z-x}{2})$
Khi đó:
$\text{VT}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}(\frac{x+z-y}{y}+\frac{x+y-z}{z}+\frac{y+z-x}{x})$
$=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}-3)$
$\geq \frac{1}{2}(6.\sqrt[6]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}.\frac{y}{x}.\frac{z}{y}.\frac{x}{z}}-3)=\frac{3}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
Hiện có khoảng 50 cách chứng minh BĐT này, ở đây ta chứng minh bằng biến đối tương đương. Ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{b}{c+a}-\frac{1}{2}+\frac{c}{a+b}-\frac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{a-c}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{b-a}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}+\frac{c-b}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{c+a}\right)+\left(\frac{b-c}{c+a}-\frac{b-c}{a+b}\right)+\left(\frac{c-a}{a+b}-\frac{c-a}{b+c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge0\)
BĐT đc chứng minh
Có thể dùng S*O*S dao lam!
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) và chú ý hai đẳng thức:
+)\(VT-VP=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b+2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
+)\(VT-VP=\frac{\left(a+b-2c\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}-\frac{\left(7a+7b-2c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Từ đó:\(VT-VP=\frac{\left(a-b\right)^2\left(7a+7b-2c\right)+\left(a+b-2c\right)^2\left(a+b+2c\right)}{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
P/s: Đây mới là cách phân tích SOS dao lam ngắn nhất chỉ với 2 bình phương không âm! (ngắn hơn SOS chính thống). Thường khi làm bài em chỉ trình bày đoạn biến đổi cuối cùng và giả sử c=min{a,b,c} thôi cho nó đẹp. Nhưng ở đây, vì muốn cho mọi người hiểu cách em làm nên em mới làm kỹ một chút:D
