Ta có bđt quen thuộc sau \(\frac{x}{y+z}< \frac{x+m}{y+z+m}\)
Áp dụng ta được \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Do đó \(VT< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Ta đi chứng minh VP > 2
Áp dụng bđt Cô-si có \(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{a+b+c}{2a}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 vế lại ta được \(VP\ge\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Do đó \(VP\ge2>VT\)
\(\Rightarrow VT< VP\left(Q.E.D\right)\)
Dấu "=" không xảy ra
