Question

Cho các số nguyên a₁;a₂;...a_n không chia hết cho SNT p. Chứng minh rằng:

\(A=p_1a_1^{\left(p-1\right)k_1}+p_2a_2^{\left(p-2\right)k_2}+..+P_na_n^{\left(p-n\right)k_n}\)chia hết cho p khi và chỉ khi \(\left(p_1+p_2+...+p_n\right)\) chia hết cho p

Answer 1

Lời giải:

Theo đề bài ta có \((a_i,p)=1\) với \(i=\overline{1,n}\)

Do đó áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:
\(a_i^{p-1}\equiv 1\pmod p\)

\(\Leftrightarrow a_i^{(p-1)k_i}\equiv 1^{k_i}\equiv 1\pmod p\)

Suy ra:

\(A=p_1a_1^{(p-1)k_1}+p_2a_2^{(p-1)k_2}+...+p_na_n^{(p-1)k_n}\equiv p_1+p_2+...+p_n\pmod p\)

Do đó:

\(A\vdots \Rightarrow p_1+p_2+...+p_n\vdots p\)

\(p_1+p_2+....+p_n\vdots p\Rightarrow A\vdots p\)

Điều này tương đương với: \(A\vdots p\Leftrightarrow \sum p_i\vdots p\)

Ta có đpcm.