Question

Cho các số hữu tỉ x=a/b      ;        y=c/d   ;    z= a+c/b+d

Chứng minh rằng nếu x < y thì x < z < y

Áp dụng: Viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ -1/2 và -1/3

Answer 1

Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) nên ad < bc   (1)

Xét tích : \(a\left(b+d\right)=ab+ad\)  (2)

\(b\left(a+c\right)=ba+bc\)    (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra :

\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)  

Do đó :  \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)     (4)

Tương tự ta có :\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)   (5)

Từ (4) , (5) ta được : \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Hay \(x< z< y\)