đặt P=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)
Q=b/(b+c)+c/(c+d)+d/(d+a)+a/(a+b)
R=c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)+b/(a+b)
thì Q+R=4
Ta có: P+Q=(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+d)+(c+d)/(d+a)+(d+a)/(a+b)≥4
=> P+R≥4
Cộng 2 bđt trên ta được: 2P+Q+R≥8 hay P≥2
Cho a,b,c,d là các số dương
Chứng minh
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)
Cho a,b,c,d là các số nguyên dương đôi một khác nhau, thỏa mãn : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\). Chứng minh tích abcd là một số chính phương.
1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)
2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)
3/ Chứng minh
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)
b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) (với a, b, c dương)
Cho a,b,c,d và A,B,C,D là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\). Chứng minh \(\sqrt{a.A}+\sqrt{b.B}+\sqrt{c.C}+\sqrt{d.D}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
chứng minh rằng : Với mọi số dương a, b, c, d ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
1. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
2. Cho \(a\ge1;b\ge1\).Chứng minh :
\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng: \(\frac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\frac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge\frac{\sqrt{bd}}{ac+\sqrt{bd}}\)
cho a, b, c, d là các sô dương thoả mãn \(a^2+b^2=1\) và \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}=\frac{1}{c+d}\)chứng minh rằng \(\frac{a^2}{c}+\frac{d}{b^2}\ge2\)
Bài 1:Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+d\right)\left(c^2+d^2\right)}+\frac{d^4}{\left(d+a\right)\left(d^2+a^2\right)}\ge\frac{a+b+c+d}{4}\)
Bài 2:Cho \(a>0,b>0,c>0\).\(CM:\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Bài 3: a) Cho x,y,>0. CMR:\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)
b) Chứng minh rằng\(\Sigma\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
