Question

cho các số dương a , b , c thỏa mãn : ab + ac + bc =1

CMR \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)

Answer 1

\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{a+b+a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+a^2}\le\dfrac{2a+b+c}{2}\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+b^2}\le\dfrac{2b+a+c}{2}\\\sqrt{1+c^2}\le\dfrac{2c+a+b}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)