Question

Cho các số a,b thỏa mãn điều kiện: \(a+\frac{1}{b}\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

Giúp hộ!!

Answer 1

Giá trị nhỏ nhất của bài này chỉ tìm được với điều kiện a, b dương

Khi \(a,b>0\) ta có:

\(a+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\Rightarrow2\sqrt{\frac{a}{b}}\le1\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b}}\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{a}{b}\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{b}{a}\ge4\)

\(S=\frac{a}{b}+\frac{b}{16a}+\frac{15b}{16a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{16a}}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}\)

\(\Rightarrow S_{min}=\frac{17}{4}\) khi \(b=4a=2\)