Kẻ DH vuông AB tại H và DK vuông BC tại K
Kẻ DI vuông EK
Ta có: DI //HK ( cùng vuông góc KE )
DH //IK ( cùng vuông góc AB )
Xét \(\Delta\)DIH và \(\Delta\)KHI có:
^DIH = ^KHI ( so le trong )
^DHI = ^KIH ( so le trong )
HI chung
=> \(\Delta\)DIH = \(\Delta\)KIH => DI = HK
Mà \(\Delta\)ACD đều => DH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => HA = HC = 1/2 AC
\(\Delta\)ECB đều => EK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => CK = KB = 1/2 BC
=> DI = HK = HC + CK = 1/2 . AC + 1/2 . BC = 1/2 . ( AC + BC ) = 1/2 . AB cố định
Xét \(\Delta\)DIE vuông tại I có: DE là cạnh huyền
=> \(DE\ge DI=\frac{1}{2}.BC\)
Dấu "=" xảy ra <=> DE = DI hay I trùng E
khi đó: DH = IK = EK
Xét \(\Delta\)DHC và \(\Delta\)EKC
có: EK = DH ; ^ECK = ^DCH = 60 độ; ^DHC = ^EKC = 90 độ
=> \(\Delta\)DHC = \(\Delta\)EKC => CH = CK => 1/2 AC = 1/2 . BC => AC = BC => C là trung điểm AB
Vậy DE nhỏ nhất = 1/2 BC khi C là trung điểm AB
