Question

Cho biểu thức \(P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)trong đó \(ad-bc=1\)

Chứng minh \(P\ge\sqrt{3}\)

Answer 1

bài này thì đơn giản thôi

1+(ac+bd)²=(ad-bc)²+(ac+bd)²=a²d²+b²c²+a²c²+b²d²

=(a²+b²)(c²+d²)

\(P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)

\(=ac+bd+2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}\)

đặt ac+bd=Q.

P trở thành:

\(P=Q+2\sqrt{Q^2+1}\Rightarrow P^2=Q^2+4\left(Q^2+1\right)+4Q.\sqrt{Q^2+1}=\left(\sqrt{Q^2+1}+2Q\right)^2+3\ge3\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)

Answer 2

Bạn giải thích chỗ này ra được không \(ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)

\(=ac+bd+2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}\)