Question

 

Cho biểu thức 

\(M=x^3+y^3-xy\)

Với x;y \(\in\)\(ℝ\)và x+y = --1

tìm các giá trị của x và y để M có giá trị lớn nhất 

Answer 1

Ta có:\(M=x^3+y^3-xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy=-x^2+xy-y^2-xy=-\left(x^2+y^2\right)\)

Áp dụng BĐT Bun-hia-cop-xki ta có:

\(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\left(x^2+y^2\right)\le-\frac{1}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=-1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=-\frac{1}{2}}\)

Vậy \(M_{max}=-\frac{1}{2}\)khi \(x=y=-\frac{1}{2}\)