Question

Cho biết a và b là các số thực thay đổi sao cho đa thức A(x) = x^2-2ax+2a^2+b^2 - 5 có nghiệm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(a+1)(b+1)

Answer 1

Để phương trình có nghiệm thì : 

\(\Delta_x=a^2-\left(2a^2+b^2-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\le5\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le5+2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\ge\frac{\left(a+b\right)^2-5}{2}\)

Ta có :

\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)=ab+a+b+1\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2-5}{2}+\left(a+b\right)+1=\frac{1}{2}\left(a+b+1\right)^2-2\ge-2\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}}\)