Cho \(BC\) là một dây của đường tròn \(\left(O;R\right)\) \(\left(BC\ne2R\right)\). Một điểm \(A\) thuộc đường tròn sao cho \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\).
\(a\)) Chứng minh rằng: \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\).
\(b\)) Chứng minh rằng: Tam giác \(AEF\) đồng dạng với tam giác \(ABC\).
\(c\)) Gọi \(A'\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng \(AH=2\cdot A'O\).
a) Xét 2 tam giác ABE và ACF, ta có:
\(\widehat{AEB}=\widehat{ACF}=90^o\) và \(\widehat{A}\) chung
nên \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\) \(\Rightarrow AB.AF=AC.AE\) (đpcm)
b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
c) Kẻ đường kính AP của (O). Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp BP\\AB\perp HC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) BP//HC
CMTT, ta có CP//HB, dẫn đến tứ giác BHCP là hình bình hành. Lại có A' là trung điểm BC \(\Rightarrow\) A' cũng là trung điểm HP.
Do đó OA' là đường trung bình của tam giác PAH \(\Rightarrow AH=2A'O\left(đpcm\right)\)
