\(A=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)
\(=x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương x^2 + 1 và 4 / x^2 + 1
\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right)\cdot\frac{4}{x^2+1}}\)
\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge4\)
\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)
\(A\ge3\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
\(x^2+1=\frac{4}{x^2+1}\)
\(\left(x^2+1\right)^2=4\)
\(\orbr{\begin{cases}x^2+1=2\\x^2+1=-2\end{cases}}\)
\(\orbr{\begin{cases}x^2=1\\x^2=-3\left(sai\right)\end{cases}}\)
\(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)
Vậy A > 3 khi x khác 1 và - 1
A = 3 khi x = 1 hay x = - 1
A < 3 vô nghiệm
